Библиотека · Форум · Айклуб
Авторизация

Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон

Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно ?.

Решение:
Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Если m — медиана, проведённая к стороне a, то

m2 = ?(2b2 + 2c2 - a2).
Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.