Литература Русский язык Английский язык Математика Информатика Физика Химия Биология География История
гдз

Олимпиадные задания по математике (54)

В одном доме живут Воронов, Павлов, Журавлев, Синицын. Один из них – математик, другой – художник, третий – писатель, а четвертый – баянист. Известно, что: 1) ни Воронов, ни Журавлев не умеют играть на баяне; 2) Журавлев не знаком с…
Задача 1: Квадратные трехчлены f и g с целыми коэффициентами принимают только положительные значения и при всех вещественных x. Докажите, что при всех вещественных x.(А.Храбров)Задача 2: Компьютер «Intel Пень-V» умеет выполнять с числом только одну операцию: он прибавляет к нему…
На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно…
Задача 1: Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7.Решение: НОД (2n + 13,n + 7) = НОД (n + 7,n + 6) = НОД (n + 6,1) = 1.   Задача 2: Найдите НОД (2??? – 1,2???…
Существует ли такой момент, когда часовая, минутная и секундная стрелки образуют попарно углы в 120°? Будем отмерять время от полудня. Предположим, что t < 12 ч - нужный момент времени. Нетрудно понять, что тогда в момент времени 3t все три…
Представьте число 2005 в виде суммы положительных целых чисел таким образом, чтобы произведение слагаемых было максимальным. Решение: В этой сумме не должно быть единиц. Ведь 1 + a > 1 · a. В этой сумме не должно быть слагаемых, больших…
На шахматной доске 9 ? 9 стоят 9 ладей, не бьющих друг друга. Каждую ладью передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга. Решение: 9 ладей перемещаются ходом коня на 27 клеток. 27 — число нечётное…
Докажите, что(1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8) ... (1 + x1024) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ... + x2047.   Решение:Умножим оба выражения на (1 - x).Слева: (1 -…
Пусть f(x)=x2+12x+30. Решите уравнение f(f(f(f(f(x)))))=0. Решение.Заметим, что f(x)=(x+6)2-6.Отсюда видно, что  f(f(f(f(f(x))))) = (x+6)32-6.x = -6 + 61/32. Ответ.  x = -6 + 61/32.        
На доске написаны девять цифр: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Между некоторыми из них можно вставить знак "+". Какое наибольшее трёхзначное число может при этом получиться? Решение: 9 + 8 + 7 + 654 + 321…
Страница 4 из 6
  •  1 
  •  2 
  •  3 
  •  4 
  •  5 
  •  6