Литература Русский язык Английский язык Математика Информатика Физика Химия Биология География История
гдз

Олимпиадные задания по математике (54)

На шахматной доске 9 ? 9 стоят 9 ладей, не бьющих друг друга. Каждую ладью передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга. Решение: 9 ладей перемещаются ходом коня на 27 клеток. 27 — число нечётное…
Задача 1: Существуют ли такие различные числа x, y, z из [0, ? /2], что шесть чисел sin x, sin y, sin z, cos x, cos y и cos z можно разбить на три двойки с равными суммами.Задача 2: В…
Задача 1: Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Зем-ля–Мер-ку-рий, Плу-тон–Ве-не-ра, Зем-ля–Плу-тон, Плу-тон–Мер-ку-рий, Мер-ку-рий–Ве-не-ра, Уран–Неп-тун, Неп-тун–Са-турн, Са-турн–Юпи-тер, Юпи-тер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Зем-ли до Марса?Решение: Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим…
Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что если каждая из трех пар биссектрис: внешних углов четырехугольника при вершинах A и C, внешних углов…
В классе 25 человек. Известно, что среди любых трёх из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей. Первое решение. Рассмотрим ученика А, число друзей которого меньше 12. Тогда число его не-друзей не меньше…
Первый игрок называет любое натуральное число от 1000 до 2000. Затем игроки по очереди, начиная со второго игрока, называют натуральные числа, каждое из которых меньше предыдущего и не является его делителем. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто победит…
Идя по лестнице идущего вверх эскалатора, Петя поднимается на 20 ступенек и тратит на это 60 секунд, Оля поднимается на 16 ступенек и тратит на это 72 секунды. На сколько ступенек придётся подняться, если эскалатор будет выключен? Решение: Пусть длина…
Вычислите, чему равно ab + cd, если a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Решение:ab + cd = ab(c2 + d2) + cd(a2 + b2) = = ac · bc + ad…
Докажите, что среди 11 бесконечных десятичных дробей найдутся по крайней мере две, цифры которых совпадают в бесконечном числе разрядов. Решение: Предположим противное: пусть любые две дроби совпадают в конечном числе разрядов. Тогда и общее число разрядов, в которых какие-либо две…
Докажите, что любое натуральное число, меньшее 2004!, можно представить в виде суммы не более чем 2004 делителей числа 2004! Решение: Докажем индукцией по n, что любое натуральное число, меньшее n!, представимо в виде суммы не более n делителей числа n!.…
Страница 5 из 6
  •  1 
  •  2 
  •  3 
  •  4 
  •  5 
  •  6