Литература Русский язык Английский язык Математика Информатика Физика Химия Биология География История

Решение уравнений используя монотонность функций

Свойство 1. Если y=g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y=f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y=g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Свойство 2. Если y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x)=a имеет на I не более одного корня.

Свойство 3. Если y=f(x) возрастает на I, а y=g(x) убывает на I, то уравнение f(x)=g(x), имеет не более одного корня.

Определите промежутки возрастания (убывания) следующей функции:

Пример 1. Решите уравнение: x5+x3+2x-4=0.

Решение: Функция f(x)=x5+x3+2x-4 возрастает как сумма трех возрастающих функций y=x5, y=x3 и y=2x-4 на R.

Тогда уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня. Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение log2(x+2)=1-x.

Решение: Функция y=log2(x+2) – возрастает на x>-2. Функция y=1-x убывает на R. Тогда уравнение log2(x+2)=1-x имеет единственное решение при x>-2

Непосредственно проверкой убедимся, что x=0 является корнем этого уравнения.

Ответ: 0.

 

5173

Комментарии  

 
0 Vakula 27 марта 2013, 12:25
Действительно, мне тоже показалась тема про монотонность весьма сложной. Для меня основная сложность заключалась в том, что бы определить, сколько же корней имеет функция на данном промежутке значений.
Ответить Ссылка
 
 
0 Skyfire 25 марта 2013, 14:51
Спасибо за метод. Я про монотонность функции тему не очень хорошо знаю, по этому этот пример мне очень сильно помог. Попробую разобраться, надеюсь, что на ЕГЭ не попадется...
Ответить Ссылка